Metode Pseudospektral Pemetaan Fraksional Chebyshev Untuk Masalah Kontrol Optimal

Darmayuda, Ida Bagus Angga (2026) Metode Pseudospektral Pemetaan Fraksional Chebyshev Untuk Masalah Kontrol Optimal. Masters thesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Text 6002241009_Master_Thesis.pdf - Accepted Version Restricted to Repository staff only Download (6MB) | Request a copy

Abstract

Tesis ini membahas metode pseudospektral Chebyshev dengan pemetaan fraksional untuk menyelesaikan masalah kontrol optimal. Pemetaan fraksional digunakan sebagai mekanisme redistribusi titik kolokasi pada domain waktu asli, bukan sebagai turunan atau integral fraksional. Parameter fraksional α digunakan untuk mengatur distribusi titik kolokasi, sehingga memberikan fleksibilitas tambahan dalam proses diskretisasi. Metode ini dirumuskan melalui dua pendekatan, yaitu pendekatan nodal dan pendekatan modal. Pada pendekatan nodal, variabel keputusan berupa nilai keadaan dan control pada titik-titik kolokasi. Sementara itu, pada pendekatan modal, variable keputusan berupa koefisien ekspansi Chebyshev yang kemudian direkonstruksi ke nilai keadaan dan kontrol pada titik kolokasi. Kedua pendekatan digunakan untuk mendiskretkan masalah kontrol optimal kontinu menjadi masalahNonlinear Programming (NLP). Evaluasi numerik dilakukan pada masalah roket Goddard dengan dua jenis formulasi, yaitu waktu akhir bebas dan waktu akhir tetap. Pada kasus waktu akhir tetap, beberapa struktur kontrol diuji, yaitu Full—Zero, Full—Singular—Zero, dan Full—Singular—Full—Zero. Hasil numerik menunjukkan bahwa pemetaan fraksional tidak mengubah struktur fisik solusi optimal. Profil ketinggian, kecepatan, massa, dan kontrol tetap menunjukkan pola yang konsisten untuk berbagai nilai α. Namun, parameter α dan derajat polinomial N memengaruhi karakteristik numerik diskretisasi, khususnya galat terminal, residual dinamika, waktu komputasi, dan bilangan kondisi matriks diferensiasi. Pada pendekatan nodal, solusi yang diperoleh memiliki akurasi terminal yang baik dan waktu komputasi yang relatif kecil, tetapi bilangan kondisi matriks diferensiasi cenderung besar, terutama pada derajat polinomial tinggi atau pemetaan yang lebih kuat. Sebaliknya, pendekatan modal menghasilkan bilangan kondisi yang jauh lebih terkendali, meskipun membutuhkan waktu komputasi yang lebih besar akibat penggunaan koefisien modal dan proses rekonstruksi modal-ke-nodal. Secara keseluruhan, metode pseudospektral Chebyshev dengan pemetaan fraksional mampu menghasilkan solusi optimal yang konsisten terhadap nilai referensi pada masalah roket Goddard. Parameter α berperan sebagai parameter numerik untuk mengatur distribusi titik kolokasi, tetapi pengaruhnya terhadap akurasi dan pengkondisian numerik tidak bersifat universal. Oleh karena itu, pemilihan nilai α perlu mempertimbangkan keseimbangan antara akurasi terminal, residual dinamika, efisiensi komputasi, dan bilangan kondisi matriks diferensiasi.
============================================================================================================================================
This thesis discusses a Chebyshev pseudospectral method with fractional mapping for solving optimal control problems. The fractional mapping is used as a mechanism for redistributing collocation points in the physical time domain, not as a fractional derivative or fractional integral. The fractional parameter α is used to regulate the distribution of collocation points, thereby providing additional flexibility in the discretization process. The method is formulated through two approaches, namely the nodal approach and the modal approach. In the nodal approach, the decision variables are the state and control values at the collocation points. Meanwhile, in the modal approach, the decision variables are the Chebyshev expansion coefficients, which are then reconstructed into state and control values at the collocation points. Both approaches are used to transcribe a continuous optimal control problem into a Nonlinear Programming (NLP) problem. Numerical evaluations are carried out on the Goddard rocket problem with two formulations, namely the free-final-time and fixed-final-time cases. In the fixed-final-time case, several control structures are examined, namely yaitu Full—Zero, Full—Singular—Zero, and Full—Singular—Full—Zero. The numerical results show that the fractional mapping does not alter the physical structure of the optimal solution. The altitude, velocity, mass, and control profiles retain consistent patterns for different values of α . However, the parameter α and the polynomial degree N affect the numerical characteristics of the discretization, particularly the terminal error, dynamic residual, computational time, and condition number of the differentiation matrix. In the nodal approach, the obtained solutions provide good terminal accuracy and relatively low computational time, but the condition number of the differentiation matrix tends to be large, especially for higher polynomial degrees or stronger mappings. In contrast, the modal approach produces a much more controlled condition number, although it requires higher computational time due to the use of modal coefficients and the modal-to-nodal reconstruction process. Overall, the Chebyshev pseudospectral method with fractional mapping is able to produce optimal solutions that are consistent with reference values for the Goddard rocket problem. The parameter α acts as a numerical parameter for regulating the distribution of collocation points, but its effect on accuracy and numerical conditioning is not universal. Therefore, the choice of α should consider the balance between terminal accuracy, dynamic residual, computational efficiency, and the condition number of the differentiation matrix.

Item Type:	Thesis (Masters)
Uncontrolled Keywords:	Metode pseudospektral Chebyshev, pemetaan fraksional, Goddard rocket, kontrol optimal, distribusi titik kolokasi, Chebyshev pseudospectral method, fractional mapping, Goddard rocket, optimal control, collocation point distribution.
Subjects:	T Technology > T Technology (General) T Technology > T Technology (General) > T57.6 Operations research--Mathematics. Goal programming T Technology > T Technology (General) > T57.62 Simulation T Technology > T Technology (General) > T57.8 Nonlinear programming. Support vector machine. Wavelets. Hidden Markov models.
Divisions:	Faculty of Science and Data Analytics (SCIENTICS) > Mathematics > 44101-(S2) Master Thesis
Depositing User:	Ida Bagus Angga Darmayuda
Date Deposited:	24 Jun 2026 01:30
Last Modified:	24 Jun 2026 01:30
URI:	http://repository.its.ac.id/id/eprint/134000

Actions (login required)

View Item