Fraktal dari Konvergensi Metode Berbasis Newton terhadap Persamaan Kompleks dan Klasifikasinya Menggunakan Machine Learning

Hakim, Safira Nurul (2026) Fraktal dari Konvergensi Metode Berbasis Newton terhadap Persamaan Kompleks dan Klasifikasinya Menggunakan Machine Learning. Other thesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Text 5002221125-Undergraduate_Thesis.pdf - Accepted Version Restricted to Repository staff only Download (2MB) | Request a copy

Abstract

Metode Newton merupakan metode iteratif klasik untuk mencari akar persamaan nonlinier. Pada persamaan kompleks, metode ini menghasilkan pola fraktal akibat sifat konvergensinya yang sangat sensitif terhadap nilai awal. Karakteristik serupa juga dijumpai pada metode berbasis Newton lainnya, yaitu Levenberg–Marquardt (LM) dan Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS), yang menghasilkan pola fraktal berbeda. Penelitian ini bertujuan memvisualisasikan fraktal yang dihasilkan oleh metode Newton, LM, dan BFGS pada persamaan kompleks (z^3 = 1) dan (z^5 = 1) untuk menentukan metode yang menghasilkan fraktal paling jelas. Selanjutnya, metode tersebut digunakan untuk membangkitkan data dalam klasifikasi akar tujuan konvergensi menggunakan tujuh metode *machine learning*, yaitu K-Nearest Neighbors (K-NN), Classification and Regression Tree (CART), Random Forest (RF), Multilayer Perceptron (MLP), Adaptive Boosting (AdaBoost), Extreme Gradient Boosting (XGBoost), dan Light Gradient Boosting Machine (LightGBM). Data diuji menggunakan tiga skema fitur, yaitu titik awal saja, satu iterasi awal, dan dua iterasi awal, dengan label berupa akar tujuan konvergensi. Hasil klasifikasi dievaluasi berdasarkan akurasi dan waktu komputasi. Hasil visualisasi menunjukkan bahwa fraktal paling jelas dan kompleks dihasilkan secara berturut-turut oleh metode Newton, LM, dan BFGS, dengan kompleksitas fraktal yang meningkat seiring bertambahnya jumlah akar dari tiga menjadi lima. Pada persamaan kompleks (z^3 = 1), K-NN mencapai akurasi tertinggi sebesar 0,9907 hanya menggunakan titik awal dengan waktu komputasi 0,7465 detik. Pada persamaan kompleks (z^5 = 1), Random Forest mencapai akurasi tertinggi sebesar 0,9756 menggunakan dua iterasi awal dengan waktu komputasi 349,1816 detik. Namun, K-NN tetap kompetitif dengan akurasi sebesar 0,9505 hanya menggunakan titik awal dalam waktu komputasi 0,6899 detik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa titik awal saja sudah cukup untuk menghasilkan klasifikasi yang akurat pada persamaan yang lebih sederhana, sedangkan pada fraktal yang lebih kompleks diperlukan penambahan iterasi awal.
===================================================================================================================================
Newton's method is a classical iterative method for finding the roots of nonlinear equations. When applied to complex equations, it generates fractal patterns due to the extreme sensitivity of its convergence behavior to the initial point. Similar characteristics are observed in other Newton-based methods, namely Levenberg–Marquardt (LM) and Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS), each of which produces distinct fractal patterns. This study aims to visualize the fractals generated by the Newton, LM, and BFGS methods for the complex equations (z^3 = 1) and (z^5 = 1) to determine which method produces the clearest fractal structure. The selected method is then used to generate data for classifying the target root of convergence using seven *machine learning* methods: K-Nearest Neighbors (K-NN), Classification and Regression Tree (CART), Random Forest (RF), Multilayer Perceptron (MLP), Adaptive Boosting (AdaBoost), Extreme Gradient Boosting (XGBoost), and Light Gradient Boosting Machine (LightGBM). The data are evaluated using three feature schemes: the initial point only, one initial iteration, and two initial iterations, with the target root of convergence used as the class label. Classification performance is assessed based on accuracy and computation time. The visualization results show that the Newton method produces the clearest and most complex fractal patterns, followed by the LM and BFGS methods, with fractal complexity increasing as the number of roots increases from three to five. For the complex equation (z^3 = 1), K-NN achieves the highest accuracy of 0.9907 using only the initial point, with a computation time of 0.7465 seconds. For the complex equation (z^5 = 1), Random Forest achieves the highest accuracy of 0.9756 using two initial iterations, with a computation time of 349.1816 seconds. Nevertheless, K-NN remains competitive, achieving an accuracy of 0.9505 using only the initial point with a computation time of 0.6899 seconds. These results indicate that the initial point alone is sufficient for accurate classification in simpler equations, whereas additional initial iterations are required for equations with more complex fractal structures.

Item Type:	Thesis (Other)
Uncontrolled Keywords:	Fraktal, Metode Newton, Levenberg–Marquardt, BFGS, Machine Learning, Fractal, Newton’s method, Levenberg–Marquardt, BFGS, Machine Learning
Subjects:	Q Science > Q Science (General) > Q325.5 Machine learning. Support vector machines. Q Science > QA Mathematics > QA141 Numeracy--Problems, exercises, etc. Q Science > QA Mathematics > QA76.87 Neural networks (Computer Science) Q Science > QA Mathematics > QA9.58 Algorithms
Divisions:	Faculty of Science and Data Analytics (SCIENTICS) > Mathematics > 44201-(S1) Undergraduate Thesis
Depositing User:	Safira Nurul Hakim
Date Deposited:	03 Aug 2026 02:10
Last Modified:	03 Aug 2026 02:10
URI:	http://repository.its.ac.id/id/eprint/141876

Actions (login required)

View Item