Optimasi Koefisien Deret Fourier yang Direduksi dengan Simetri Solusi Menggunakan Metode Newton dan Algoritma Levenberg-Marquardt

Fadhillah, Anjani Nur (2026) Optimasi Koefisien Deret Fourier yang Direduksi dengan Simetri Solusi Menggunakan Metode Newton dan Algoritma Levenberg-Marquardt. Other thesis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Text 5002221088-Undergraduate_Thesis.pdf - Accepted Version Restricted to Repository staff only Download (2MB) | Request a copy

Abstract

Efisiensi penyelesaian masalah optimasi nonlinier dipengaruhi oleh representasi solusi dan struktur matematis yang dimanfaatkan. Pada beberapa permasalahan diferensial, solusi memiliki sifat simetri yang dapat mereduksi banyak parameter, terutama jika dikombinasikan dengan representasi berbasis fungsi global. Penelitian ini mengusulkan Symmetry-Informed Fourier Spectral (SIFS), yaitu pendekatan optimasi koefisien deret Fourier yang memanfaatkan simetri solusi untuk mereduksi banyak koefisien. Solusi direpresentasikan sebagai deret Fourier tereduksi, kemudian koefisiennya dioptimasi menggunakan metode Newton dan algoritma Levenberg-Marquardt untuk meminimalkan galat residual sistem nonlinier hasil substitusi ke persamaan diferensial parsial (PDP). Sebagai pengujian numerik, metode ini diterapkan pada persamaan Bratu sebagai model uji PDP eliptik nonlinier bersyarat batas Dirichlet homogen pada domain satu, dua, dan tiga dimensi, dievaluasi terhadap solusi analitik (1D) dan metode Symmetry Informed Finite Difference Method (SFDM) pada kasus dua dan tiga dimensi. Hasil numerik menunjukkan SIFS menghasilkan solusi bawah dan atas yang konsisten dengan pembanding pada kasus satu dan dua dimensi, serta solusi bawah pada kasus tiga dimensi, dengan akurasi umumnya lebih baik dibandingkan SFDM meskipun waktu komputasi lebih besar akibat basis Fourier yang global dan padat. Metode ini juga merekonstruksi diagram bifurkasi dengan galat titik yang umumnya lebih kecil dibandingkan SFDM, meskipun estimasi titik kritis pada kasus tiga dimensi masih kurang akurat. Newton dan Levenberg-Marquardt menghasilkan solusi yang identik secara iterasi dan akurasi, namun Newton jauh lebih unggul dari segi waktu komputasi sehingga dipilih sebagai penyelesai utama. Dengan demikian, optimasi koefisien deret Fourier berbasis simetri menjadi alternatif metode numerik yang akurat untuk menyelesaikan persamaan Bratu, dengan trade-off biaya komputasi lebih besar dibandingkan metode beda hingga yang
memanfaatkan sifat simetri solusi.
=================================================================================================================================================
Efficiency in solving nonlinear optimization problems is influenced by the solution representation and mathematical structure exploited. In several classes of differentialcproblems, the solution exhibits symmetry properties that can be leveraged to reduce the number of parameters, particularly when combined with representations based on global basis functions. This study proposes Symmetry-Informed Fourier Spectral (SIFS), a Fourier-coefficient optimization approach that exploits solution symmetry to reduce the number of coefficients involved. The solution is represented as a symmetry-reduced Fourier series, and its coefficients are optimized using the Newton method and the Levenberg-Marquardt algorithm to minimize the residual error of the nonlinear system obtained by substituting the series into the partial differential equation (PDE). As a numerical test, the proposed method is applied to the Bratu equation as a benchmark nonlinear elliptic PDE with homogeneous Dirichlet boundary conditions on one-, two-, and three-dimensional domains, evaluated against the analytical solution (1D) and the Symmetry-Informed Finite Difference Method (SFDM) for the two- and three-dimensional cases. The numerical results show that SIFS produces lower- and upper-branch solutions consistent with the reference in the one- and two-dimensional cases, and lower-branch solutions in the three-dimensional case, with accuracy generally better than SFDM despite requiring greater computational time due to the global and dense nature of the Fourier basis. The method also reconstructs bifurcation diagrams with pointwise errors generally smaller than SFDM, although the turning point estimate in the three-dimensional case remains less accurate. Newton and Levenberg-Marquardt yield identical solutions in terms of iteration count and accuracy, but Newton is substantially more efficient in computational time and is therefore adopted as the primary solver. The proposed symmetry-based Fourier coefficient optimization approach thus offers an accurate alternative numerical method for solving the Bratu equation, at the cost of greater computational expense compared to the symmetry-informed finite difference method.

Item Type:	Thesis (Other)
Uncontrolled Keywords:	deret Fourier, simetri, metode Newton, algoritma Levenberg-Marquardt, persamaan Bratu, bifurkasi Fourier series, symmetry, Newton method, Levenberg-Marquardt algorithm, Bratu equation, bifurcation
Subjects:	Q Science Q Science > QA Mathematics Q Science > QA Mathematics > QA371 Differential equations--Numerical solutions Q Science > QA Mathematics > QA380 Bifurcation theory Q Science > QA Mathematics > QA404 Fourier series
Divisions:	Faculty of Science and Data Analytics (SCIENTICS) > Mathematics > 44201-(S1) Undergraduate Thesis
Depositing User:	Anjani Nur Fadhillah
Date Deposited:	01 Aug 2026 01:28
Last Modified:	01 Aug 2026 01:28
URI:	http://repository.its.ac.id/id/eprint/140941

Actions (login required)

View Item